(방송통신댿� 선형대수 기말과제물)2018학년도 선형대수 기출문제 중 15번~24번까지의 문제에 대해 풀이를 상세하게 해설하시오 연구과제 5장 4번 10장 10번 12장 10번 4차 정칙행렬 암호문

18. 다음 중 벡터공간 R3 의 부분공간이 아닌 것은?
① {(x,y,1)| x,y∈R} ② {(x,y,0)| x,y∈R}
③ {(x,y,z)| x,y,z∈R} ④ {(x,y,x+y)| x,y∈R}

설명
①두 원소 A = (a1, b1, 1), B = (a2, b2, 1) 에 대해서 두 원소의 합은
A + B = (a1, b1, 1) + (a2, b2, 1) = (a1 + a2, b1 + b2, 2) 이다.
a1 + a2 과 b1 + b2는 실수이지만 마지막 성분 2는 1이 아니므로,
집합 {(x,y,1)| x,y∈R} 는 덧셈에 대해 닫혀 있지 않아 부분공간의 조건을 만족하지 않는다.
②두 원소 A = (a1, b1, 0), B = (a2, b2, 0) 에 대해서 두 원소의 합은
A + B = (a1, b1, 0) + (a2, b2, 0) = (a1 + a2, b1 + b2, 0) 이다.
A + B의 첫 번째, 두 번째 성분 모두 실수이고 세 번째 성분은 0이므로,
{(x,y,0)| x,y∈R}은 덧셈에 대하여 닫혀 있다.
A = (a, b, 0)에 대해 실수 k를 곱하면
k?A = (ka, kb, 0)이 된다. k?A의 첫 번째, 두 번째 성분은 실수이고 세 번째 성분은 0이므로, {(x,y,0)| x,y∈R}는 곱셈에 관하여도 닫혀 있다.
따라서 {(x,y,0)| x,y∈R}는 정의 8.4(p205)의 부분공간의 조건을 모두 만족한다.
③ 두 원소 A = (a1, b1, c1), B = (a2, b2, c2) 에 대해서 두 원소의 합은
A + B = (a1, b1, c1) + (a2, b2, c2) = (a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2)이다.
A + B의 첫 번째, 두 번째, 세 번째 성분 모두 실수이므로 {(x,y,z)| x,y,z∈R}는 덧셈에 대하여 닫혀 있다.
A = (a, b, c)에 대해 실수 k를 곱하면 k?A = (ka, kb, kc)이 된다.
k?A의 첫 번째, 두 번째, 세 번째 성분 모두 실수이므로 {(x,y,z)| x,y,z∈R}는 곱셈에 관하여도 닫혀 있다.
따라서 {(x,y,z)| x,y,z∈R}는 정의 8.4(p205)의 부분공간의 조건을 모두 만족한다.
④ 두 원소 A = (a1, b1, a1 + b1), B = (a2, b2, a2 + b2)에 대해서 두 원소의 합은
A + B = (a1, b1, a1 + b1) + (a2, b2, a2 + b2) = (a1 + a2, b1 + b2, a1 + b1 + a2 + b2)이다.
A + B의 첫 번째, 두 번째, 세 번째 성분 모두 실수이므로 {(x,y,x+y)| x,y∈R}는 덧셈에 대하여 닫혀 있다.
A = (a, b, a + b)에 대해 실수 k를 곱하면 k?A = (ka, kb, ka+kb)가 된다.
k?A의 첫 번째, 두 번째, 세 번째 성분 모두 실수이므로 {(x,y,x+y)| x,y∈R}는 곱셈에 관하여도 닫혀 있다.