[공통교��과��] 2024년 2학기 댿�학수학의이해 기��시험 핵심체크

제1장 수학의 기초

1. 수학의 정의
1) 정의
① 수학은 당면한 현실 문제를 추상화 또는 일반화하여 문제를 논리적으로 해결할 수 있도록 하여 현대의 자연과학 및 사회과학 등 학문의 발달의 토대를 이룸
- 각 학문에 필요한 논리적 사고를 제공하는 ‘과학의 언어’ 역할
- 협의적 정의: 추상화된 문제를 논리적으로 정리하는 것

2. 수학의 기초 논리
1) 기초논리
① 수학은 추상화된 문제를 수학적 정리 등을 통해 해결
정리: 수학자들이 발견한 중요한 결과들로서 “가정에 따라 결론이 이루어진다”라는 명제 형태를 가짐
② 수학적 명제는 연역법, 귀류법과 수학적 귀납법등으로 증명
- 연역법: 몇 개의 명제가 옳다는 가정 아래 다른 명제도 옳다는 것을 논리적으로 밝히는 방법
- 귀류법: 어떤 명제가 참임을 직접 도출하기 어려울 때, 명제가 거짓이라고 가정하고 추론하여 그 명제가 모순 또는 불가능하다는 것을 보여 그 명제가 참일 수밖에 없음을 증명하는 간접증명법
- 수학적 귀납법: 자연수 n=1 일 때 명제가 성립함을 보이고, n=k일 때 이 명제가 성립한다고 가정하고 n=k+1일 때 동명제가 성립함을 보여 일반적으로 명제가 성립함을 보이는 증명방법임

3. 수의 체계왿� 성질
1) 실수의 성질
① 임의의 실수 a, b에 대하여
- 교환법칙: a+b=b+a, ab=ba
- 결합법칙: (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc)
- 분배법칙: a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc
- 항등원: a+0=a, a1=a
- 역원: a+(-a)=0, aa-1=1
② 이왿� 같은 성질을 만족하는 집합을 체라고 함

2) 수의 체계
① 대학수학은 실수체계를 바탕을 두고 설명
② 자연수: 곱셈에 관한 역원 1을 거듭 더해 만들어진 수
③ 정수: 자연수에 0과 음의 자연수(자연수의 덧셈에 관한 역원)를 초함
④ 유리수: 정수로 측정할 수 없는 값 중 두 정수 m, n을 분수 꼴 으로 나타내어 표현할 수 있는 수(유리수는 유한소수 또는 순환하는 무한소수)
⑤ 무리수: 순환하지 않는 무한소수왿� 같이 유리수 꼴로 표현할 수 없는 수
⑥ 실수: 유리수왿� 무리수이며, 실수 직선에 모든 실수가 일대일로 대응



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