수�� 논술 문제 제작

[가] 고대 그리스 시대에 아테네에 전염병이 퍼지고 많은 시민이 죽게 되어 시민들은 신전으로 가 신에게 기도를 올렸더니 신은 제단의 부피의 배인 새로운 제단을 만들면 도시를 구해주겠다고 하였다. 석공은 현제단의 변의 길이를 두 배로 늘여서 새로운 제단을 신께 바쳤다. 새로운 제단을 바쳤음에도 불구하고, 더 많은 사람들이 죽어갔다. 사람들은 신에게 항의하였고, 이에 신은 다음과 같이 사람들을 꾸짖었다. “내가 언제 배나 되는 제단을 만들어 달라고 하였는가? 배가 되는 제단을 만들어 달라고 했었지!” 신의 말을 듣고, 시민들이 생각해 보니 분명히 새 제단은 부피가 배로 늘어난 것이었다.
이 신화 속 문제를 배적 문제라고 한다. 다시 말해, 한 정육면체가 주어졌을 때 이 정육면체의 부피 보다 배 큰 부피를 가진 정육면체를 작도하는 것이다. 많은 수학자들은 이 문제를 해결하기 위해 다양한 시도를 하였다. 이러한 시도의 부산물로 다양한 보조 곡선 및 도구들이 발견되었다. 이러한 노력으로 히포크라테스는 이 문제를 비율 문제로 변형시켰다. 히포크라테스가 변형한 두 문제는 다음과 같다.

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그가 배적 문제를 주어진 두 선분에 대한 두 비례중항을 찾는 문제로 변형한 후, 그 당시 및 후대의 수학자들은 배적 문제를 해결할 수 있는 새로운 길을 열 수 있었다. 그 대표적인 예로 메나에크무스는 이차곡선을 이용해서 배적문제를 두 가지 방법으로 연구하였다. 이 외에도 아폴로니우스왿� 헤론의 원을 이용한 방법, 디오클레스의 시소이드 곡선, 니코메데스의 두 선분을 이용한 방법, 아르키타스의 원환체를 이용한 방법, 에우독수스의 원환체의 정사영 방법 등이 있다.

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[논제 1] [가]에서의 밑줄 친 메나에크무스가 연구한 방법 중 하나는 비례중항으로부터 이차곡선 중 하나의 식을 만들어 배적문제를 연구한 방법이 있다. 그 방법을 생각하여 서술해보고 그 길이를 이차곡선의 그래프를 그려 표시하시오. (15점)