[물��실험] 용수철 흔들이의 모습

평형상태를 갖는 모든 계는 작은 변화에 대하여 되돌이특성을 갖는다. 역학계에서의 되돌이 특성은 되돌이힘으로 나타난다. 특히 평형상태로부터의 변화가 아주 작을 때는 되돌이힘의 크기는 변화의 정도에 비례한다. 또, 역학계는 운동상태를 그대로 유지하려는 관성도 가지고 있다. 이 되돌이힘과 관성이 함께 나타날 때 계는 홑어울림운동을 하게된다. 이 실험에서는 먼저 용수철에 추를 매달아 수직떨개로 사용하고 또, 용수철의 길이를 고정한 채 흔들이로 사용할 때의 홑어울림운동에 대해서 각각 조사한다. 다음 추가 매달린 용수철을 흔들이로 사용할 때의 물체의 운동에 대해서도 살펴본다. 이 경우에는 용수철의 되돌이힘과 함께 중력이 흔들이에 또 다른 되돌이힘으로 작용하고 있기 때문에 2차원 평면에서 두가지 홑어울림운동이 나타나고, 더욱 이들이 서로 독립적이지 못하고 결합되기 때문에, 추의 운동은 매우 다양해진다. 홑어울림운동을 하는 대부분의 역학계는 평형상태로부터의 변화가 아주 커지면 되돌이힘이 더 이상 변화량에 비례하지 않고 비선형효과가 나타난다. 홑어울림운동의 결합방식과 비선형효과에 대해서도 공부한다.

3. 배경이론
먼저 중력하에서 용수철에 매달린 물체의 상하운동을 살펴본다. 중력가속도를 g, 용수철상수를 k, 물체의 질량을 M, 늘어난 길이를 x 라고 하면 용수철이 물체에 미치는 되돌이힘은 -kx 이고, 물체에 가해진 알짜힘은
f = Mg - kx (1)
로, 운동법칙으로부터
M d2x/dt2 = - k(x - Mg/k) (2)
를 얻는다. 이 미분방정식의 일반해는
x = xmcos(ωt + φ) + Mg/k (3)
로, 여기서 각속도 ω왿� 주기 T 는 각각
ω = (k/M)1/2 (4a)
T = 2π(M/k)1/2 (4b)
이고, 진폭 xm 과 위상 φ는 초기조건(즉, t = 0 에서의 늘어난 길이 x 왿� 속력 v)
x(t=0) = xm cosφ + Mg/k (5)
v(t=0) = xm ω sinφ (6)
로부터 정해진다.