[수학]미분의 실생활 응용

미분의 응용

17세기 말 두 천재 뉴턴과 라이프니츠에 의하여 Calculus, 즉 미적분학이 만들어진 후, 미적분학은 자연과학, 공학, 사회과학 등 모든 과학적 방법의 기본적인 언어왿� 도구가 되었다. 이러한 미적분학은 그 내용이 계속 다음어지고 그 필수적인 내용이 정제되어 현대 과학 기술 교육의 가장 기본이 되었으며 현대 문화의 중요한 부분을 차지하고 있다. 함수, 그래프, 컴퓨터는 수학의 일반적인 구성에서 한 부분을 차지하는 반면, S-I-R 모형에서 미적분학 자체의 몇 가지 중요한 점을 뽑아낼 수 있다. 일반적으로 미분방정식으로 불리는 비율방정식은 미적분학의 중심부에 놓여 있다. 물리학, 생물학, 사회왿� 관련된 학문에서 다루는 많은 과정들이 비율방정식에 의해 모형화 될 수 있다. S-I-R 모형에 대한 분석에서, 비율이 하루 종일 고정되어 있다고 가정함으로써 미래의 값을 예측하는 데 비율방정식을 사용할 수 있다. 이들 중 첫 번째 것은 변화율이라는 개념으로서, 그것의 응용에 대해 살펴보면 다음과 같다.
<미분법 변화율의 응용>
y=f(x)의 도함수 는 x에 대한 y의 변화율을 나타낸다. 함수 y=f(x)가 과학의 한 분야에서 특별한 의미를 갖는다면, 이것의 도함수도 변화율로써 특별한 의미를 갖게 된다.
(1)물��학
직선 위를 움직이는 어떤 물체의 위치함수가 s=f(t)일 때, 는 순간속도를 나타낸다. 밀도, 전류, 힘, 열전도율, 온도 변화율, 그리고 핵물리에서의 방사성 물질의 붕괴속도 등에도 변화율은 응용된다.
(2)화학
열역학에서 많은 관심 분야 중의 하나가 압축률이다. 주어진 물체가 일정한 온도를 유지한다면, 체적 V는 압력 P에 의존한다. 따라서 압력에 관한 체적의 변화율 를 생각할 수 있다. 압축률 β는 로 정의된다. 따라서 압축률은 단위체적에 대하여 온도가 일정할 때, 압력이 증가함에 따라 물질의 체적이 얼마나 빨리 감소하는가를 나타낸다.
(3)생물학
n=f(t)를 시각 t에서 동물이나 식물 군락 내에 있는 개체수라고 할 때, 시각 t=t1과 t=t2사이에 개체군의 크기의 변화는 ∆n=f(t2) - f(t1)이다. 따라서 시간 t1 ≤ t ≤ t2 동안에 평균 성장률은