[화학과 물리화학 실험] Particle in a box (입자의 운동에너지Ek)

2. Experimental
2-1. 실험 기구 및 시약
- 실험 기구 : 분광 광도계, 큐벳, 부피플라스크, 스포이드, 증류수병
- 실험 시약 : 메탄올, 폴리메타인 염료
3,3-diethylthiacyanineiodide
3,3-diethylthiacarbocyanine iodide
3,3-diethylthiadicarbocyanine iodide
3,3-diethylthiatricarbocyanine iodide
2-2. 실험 방법
① 염료 2.5mg을 50mL 부피플라스크에 녹여서 stock solution을 만 든 다
② stock solution을 1,0mL을 25mL 부피플라스크에 넣고 메탄올로 묽혀서 만든다.
③ 각각의 용액의 색깔을 기록한다.
④ 1cm 석영 셀을 이용해서 각각의 염료를 담고 UV-Visivle spectrometer에 실행한다.
⑤ 흡수가 없는 곳에서 긴 파장을 제한하고, 200nm 이하의 단 파장에서 spectrum을 기록한다.

1-1-1-1-1. 증명
우선 양자화를 약식으로 설명하기 위해서 파동함수들이 용기에 꼭 들어맞는 de Broglie 파왿� 같다고 생각해 보자. 이 파는 다음과 같은 조건을 만족시켜야 한다.
따라서 ,
de Broglie 관계식에 의하면 이러한 파장들은 다음과 같은 운동량과 대응된다.
이 알맹이는 상자 안(V=0인 곳)에서만 운동 에너지를 가지며, 따라서 다음과 같은 에너지만을 가질 수 있다.
해보자. (1)식에 의하면 . 그런데
이제 보다 정식적이면서 보편적으로 이용되는 방법을 성명하겠다. x=0인 곳의 기벽을 생각이 되어야 하고, 따라서 파동함수는 왿� 같은 꼴이 되어야 한다. 다른 기벽(x=L)에서의 이 되는데, 이것도 0이 되어야 한다. C=0으로 놓을 수도 있지만 이렇게 하면 모든 x에 대해서 이 되어 Born 해석법과 맞지 않게 된다(어딘가에 알맹이가 있어야 한다). 따라서 sin kL = 0이 되도록 kL의 값을 취해야 한다. 즉 다음과 같이 이것을 취해야 한다.
n=0을 배제한 것은, 이것이 k=0을 뜻하며 따라서 모든 곳에서 이 되는(sin0=0이므로) 허용될 수 없는 결과가 되기 때문이다. 한편 n의 값이 음인 것은 sin kL의 부호를 바꾸어줄 뿐이다(sin(-x)=-sin x 이므로). 따라서 파동함수는 다음과 같이 된다.
(여기서 해에 대한 표��를 k로부터 n으로 바꾸었다.) k왿� Ek가 (1)식과 같이 관계되며, 또 k왿� n이 (3)식과 관계되므로 알맹이의 에너지는 (2)식으로 주어지는 값들 만을 갖게 된다.
위의 두 방법ㅇ로부터 우리는 알맹이의 에너지가 양자화 되며, 이러한 양자화는 가 허용되는 파동함수가 되기 위해서 만족시켜야 할 경계 조건 때문에 나온다는 결론을 얻을 수 있다. 이것은 일반적인 결론으로서 다음과 같이 나타낼 수 있다. 즉 경계 조건을 만족시키기 위해서는 특정 파동함수들만이 허용되며, 따라서 가관측 성질이 불연속적 값들만을 가져야 한다. 지금까지는 에너지만이 양자화 되었다. 그러나 다른 물리학적 가관측량들도 또한 양자화 된다는 것을 곧 배우게 될 것이다.